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人教版八下数学课件18.2.3正方形-副本

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18.2.3正方形

1、掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行 有关的论证和计算. 2、理解正方形与*行四边形、矩形、菱形的联系和区 别.

几种特殊四边形的定义及性质

定义





对角线

*行 四边

两组对边分 别*行的四

对边*行 对角相等, 对角线 且相等 邻角互补 互相*分

形 边形

矩形

有一个角是 直角的*行 四边形

对边*行 且相等

四个角 都是直角

对角线相等 且互相*分

菱形

有一组邻边 相等的*行

四边形

对边* 行,四 边都相 等

对角线互相 对角相等, 垂直*分, 邻角互补 每条对角线
*分一组对 角

对称性
中心对 称图形
轴对称 图形、 中心对 称图形
轴对称 图形、 中心对 称图形

发现:

矩形

邻边 相等 正方形

一组邻边相等的矩

形是正方形

菱形 一个角 是直角

正方形

发现: 一个角为直角的菱



形是正方形

正方形的定义

有一组邻边相等并且有一个角是直角的*行四边形是正方形

正方形性质

轴对称图形中心对称图形






图A 形 语 言

DA



∟D



B

CB

C

文 对边*行,四


四个角

语 条边都相等

都是直角



对角线

A
2 1
7
B8

5D
6
O
4
3C

对称 性

对角线互相垂直* 分且相等,每条对 角线*分一组对角

符 号

∵四边形ABCD是正 ∵四边形ABCD是 ∵四边形ABCD是正方形,

方形,∴AB∥CD, 正方形,

∴AC⊥BD,AC=BD,

语 AD∥BC,AB=BC=CD ∴∠A=∠B=∠C OA=OB=OC=OD,

言 =AD.

=∠D=90°.

∠1=∠2=∠3=∠4=

∠5=∠6=∠7=∠8.

【跟踪训练】
正方形是轴对称图 形,它的对称轴是 什么?
对角线所在直线和对边中点所确定的直线

根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打”√”

对边*行且相等 四边都相等
四个角都是直角 对角线互相*分 对角线互相垂直
对角线相等

*行四 边形



矩形

√ √


菱形

正方形

√√ √√
√ √√ √√


正方形不但具备一般的*行四边形的性质,而且同时具

备矩形和菱形的性质.

【例题】

例已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相

交于点O,

求证:△ABO,△BCO,△CDO,

A

D

△DAO是全等的等腰直角三角形.

证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AC=BD,AC⊥BD, AO=BO=CO=DO. ∴△ABO,△BCO,△CDO, △DAO都是等腰直角三角形,并且 △ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.

O

B

C

正方形的判定

一组邻边 相等

有一个内角 是直角

一组邻边相等且 有一个角是直角

有一个内 角是直角

一组邻边 相等

【跟踪训练】
1.从长方形木板中怎样截出最大的正方形木板?
2.现有一条方巾,想请同学们帮助检验一 下方巾是否是正方形的.怎样检验?

3.已知:正方形ABCD中,点E,F,G,H分别在AB,BC,CD,

DA上,且AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH是正方形吗?为什

么?

【解析】四边形EFGH是正方形.理由:

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠ABC=∠BCD=90°,AB=AD=DC=BC.

又∵AE=BF=CG=DH.



H D

∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF,



即BE=AH=DG=CF.

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.

3



EH=EF=FG=HG∠1=∠3. 又∠3+∠2=90°,



2


1



∴∠1+∠2=90°.

∴∠EFG=90°.∴四边形EFGH是正方形.

4.ABCD是一块正方形场地,小华和小芳在 A

D

AB边上取定了一点E,经测EC=50m,EB=30m,

这块场地的面积和对角线长分别是多少? E

【解析】 连接AC.

∵四边形ABCD是正方形,

B

C

∴∠B=90°,AB=BC.

∵EC=50m,EB=30m, ∴BC ? CE2 ? BE2 ? 40m,

∴S正方形ABCD=(40)2=1600(m2),

∴AC ? AB2 ? BC2 ? 40 2m.

5.在一块正方形的花坛上,欲修建两条笔直的小路使得 两条笔直的小路将花坛*均分成面积相等的四部分(不 考虑道路的宽度).你有几种方法?

6.你能用恰当的方式表示出*行四边形、矩形、菱形、

正方形之间的包含关系吗?



*行四边形

矩形

正 菱形 方


1.(义乌·中考)下列说法不正确的是() A.一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.有一个角是直角的*行四边形是正方形 【解析】选D.有一个角是直角的*行四边形可能是矩形.

2.(苏州·中考)如图,四边形 ABCD是正方形,延长AB到E,使AE=AC, 则∠BCE的度数是_______°. 【解析】∵四边形ABCD是正方形 ∴∠CAE=45°,∠ABC=90°, 又∵AE=AC,∴∠E=∠ACE=67.5°, ∴∠BCE=90°-∠E=90°-67.5°=22.5°. 答案:22.5

3.(宜宾·中考)如图,点P是正方形ABCD的对角线BD 上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接EF,给出下 列五个结论:①AP=EF;②AP⊥EF;③△APD一定是等腰 三角形;④∠PFE=∠BAP;⑤PD=EC2.其中正确结论的 序号是_____.

【解析】延长FP交AB于点G,延长AP交EF于点H,交EC于点M, 由题意易证,△BPE,△DPF为等腰直角三角形,四边形PECF 为矩形,四边形BEPG为正方形. 易证△APG≌△FEP, ∴AP=EF,∠BAP=∠PFE,又PF∥BC, ∴∠PFE=∠FEC=∠BAP, 又∠BAP+∠BMA=90°,∴∠FEM+∠BMA=90°, ∴∠EHM=90°即AP⊥EF. 在等腰直角三角形PDF中, PD=PF2=EC. 2 答案:①②④⑤

4.(潍坊·中考)已知线段AB的长为a,以AB为边, 在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E,以AE为边 在AB的上方作正方形AENM.过E作EF⊥CD,垂足为F点. 若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等,则AE的长为 _________________.
【解析】设AE=x,则x2=a(a-x),即x2+ax-a2=0, 所以x1=,x522?=1,a 又AE的长? 为52?正1 a, x2不合题意舍去. 答案: 5 ?1 a
2

5.(红河·中考)如图,在正方形ABCD中,G是BC上的 任意一点(G与B,C两点不重合),E,F是AG上的两点 (E,F与A,G两点不重合),若AF=BF+EF,∠1=∠2,请 判断线段DE与BF有怎样的位置关系,并证明你的结论.

【解析】根据题目条件可判断DE∥BF. 证明如下: ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD,∠BAF+∠2=90°, ∵AF=AE+EF,又AF=BF+EF, ∴AE=BF, ∵∠1=∠2,∴△ABF≌△DAE(SAS). ∴∠AFB=∠DEA,∠BAF=∠ADE. ∴∠ADE+∠2=90°, ∴∠AED=∠BFA=90°, ∴DE∥BF.

6.(滨州·中考)如图,四边形ABCD中,E,F,G,H分别是 AB,BC,CD,DA的中点, (1)请判断四边形EFGH的形状?并说明为什么. (2)要使四边形EFGH为正方形,那么四边形ABCD的对 角线应该有怎样的情况?

【解析】(1)四边形EFGH是*行四边形.
连接AC,
∵E,F分别是AB,BC的中点, ∴EF∥AC,EF=A1C
2
同理HG∥AC,HG=A1C
2
∴EFHG,
∴四边形EFGH是*行四边形.
(2)四边形ABCD的对角线垂直且相等.

本节课主要学*了正方形的定义、性质、判定: 1、掌握正方形的定义、性质、判定. 2、了解正方形、矩形、菱形、*行四边形间的关系,认 识它们之间的联系和区别. 3、能综合利用正方形的性质与判定解决有关的证明与计 算.

一、正方形的定义:




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