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2019年高中人教A版数学必修4:第24课时 *面向量数量积的物理背景及其含义 Word版含解析

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第 24 课时 *面向量数量积的物理背景及其含义

课时目标 1.理解*面向量数量积的含义; 了解*面向量数量积与投影的关系; 掌握数量积的性质. 2.掌握*面向量数量积的几何意义;掌握*面向量数量积的运算律. 识记强化 1.已知两个非零向量 a,b,我们把|a|· |b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a· b =|a|· |b|cosθ.规定零向量与任一向量的数量积为零,其中 θ 是 a 与 b 的夹角. 2.|a|cosθ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影,|b|cosθ 叫做 b 在 a 方向上的投影. 3.两个非零向量互相垂直的等价条件是 a· b=0. 4.a· b 的几何意义是数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的投影|b|cosθ 的乘积. 5.向量数量积的运算律为: (1)a· b=b· a. (2)(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb). (3)(a+b)· c=a· c+b· c. 课时作业 一、选择题 1. 给出以下五个结论: ①0· a=0; ②a· b=b· a; ③a2=|a|2; ④(a· b)· c=a· (b· c); ⑤|a· b|≤a· b. 其中正确结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C 解析:①②③显然正确;(a· b)· c 与 c 共线,而 a· (b· c)与 a 共线,故④错误;a· b 是一个 实数,应该有|a· b|≥a· b,故⑤错误. 2.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=4,且 a· b=2,则 a 与 b 的夹角 θ 为( ) π π A. B. 6 4 π π C. D. 3 2 答案:C π 解析:由题意,知 a· b=|a||b|cosθ=4cosθ=2,又 0≤θ≤π,所以 θ= . 3 3.已知向量 a,b 满足|a|=1,a⊥b,则向量 a-2b 在向量 a 方向上的投影为( 7 A.1 B. 7 2 7 C.-1 D. 7 答案:A ?a-2b?· a a2-2a· b 1 1 2b|cosθ.又 cosθ= = = ,故|a-2b|cosθ=|a-2b|· =1. |a-2b|· |a| |a-2b|· |a| |a-2b| |a-2b| 4.设向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a· (a+b)=0,则 a 与 b 的夹角是(
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)

解析:设 θ 为向量 a-2b 与向量 a 的夹角,则向量 a-2b 在向量 a 方向上的投影为|a-

)

A.30° B.60° C.90° D.120° 答案:D 解析: 设向量 a 与 b 的夹角为 θ, 则 a· (a+b)=a2+a· b=|a|2+|a|· |b|· cosθ=1+1×2×cosθ 1 =1+2cosθ=0,∴cosθ=- .又 0° ≤θ≤180° ,∴θ=120° ,选 D. 2 5.若|a|=|b|=1,a⊥b,且(2a+3b)⊥(ka-4b),则 k=( ) A.-6 B.6 C.3 D.-3 答案:B 解析:由题意,得(2a+3b)· (ka-4b)=0,由于 a⊥b,故 a· b=0,又|a|=|b|=1,于是 2k -12=0,解得 k=6. → → 6.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC=4,则AB· AC等于( ) A.-16 B.-8 C.8 D.16 答案:D → → → → → 解析:AB· AC=|AB|· |AC|cosA=|AC|2=16 二、填空题 7.一物体在力 F 的作用下沿水*方向由 A 运动至 B,已知 AB=10 米,F 与水*方向 的夹角为 60° ,|F|=5 牛顿,物体从 A 至 B 力 F 所做的功 W=__________. 答案:25 焦耳 解析:由物理知识知 W=F· s=|F|· |s|cosθ=5×10×cos60° =25(焦耳). 8.如果 a,b,a-b 的模分别为 2,3, 7,则 a 与 b 的夹角为________. π 答案: 3 1 解析:设 a 与 b 的夹角为 θ,由|a-b|2=a2-2a· b+b2,得 7=13-12cosθ,即 cosθ= . 2 π 又 0≤θ≤π,故 θ= . 3 → → 9.已知在△ABC 中,AB=AC=4,AB· AC=8,则△ABC 的形状是________. 答案:等边三角形 1 → → → → 解析:AB· AC=|AB||AC|cos∠BAC,即 8=4×4cos∠BAC,于是 cos∠BAC= ,所以∠BAC 2 =60° .又 AB=AC,故△ABC 是等边三角形. 三、解答题 10.已知 e1 与 e2 是两个夹角为 60° 的单位向量,a=2e1+e2,b=2e2-3e1,求 a 与 b 的 夹角. 1 解:因为|e1|=|e2|=1,所以 e1· e2=1×1×cos60° = , 2 2 2 |a| =(2e1+e2) =4+1+4e1· e2=7,故|a|= 7, 2 2 |b| =(2e2-3e1) =4+9+2×2×(-3)e1· e2=7,故|b|= 7, 1 7 2 2 且 a· b=-6e1+2e2+e1· e2=-6+2+ =- , 2 2 7 - 2 a· b 1 所以 cos〈a,b〉= = =- , |a|· |b| 2 7× 7 所以 a 与 b 的夹角为 120° . 11.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=4,且 a,b 的夹角为 60° . (1)若(2a-b)· (a+b);
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(2)若(a+b)⊥(λa-2b),求实数 λ 的值. 1 解:(1)由题意,得 a· b=|a|· |b|cos60° =1×4× =2. 2 2 2 ∴(2a-b)· (a+b)=2a +a· b-b =2+2-16=-12. (2)∵(a+b)⊥(λa-2b),∴(a+b)· (λa-2b)=0, 2 2 ∴λa +(λ-2)a· b-2b =0,∴λ+2(λ-2)-32=0, ∴λ=12. 能力提升 12.已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的方程 x2+|a|x+a· b=0 有实根,则 a 与 b 的夹角的取 值范围是________. π ? 答案:? ?3,π? 解析:由于|a|=2|b|≠0,且关于 x 的方程 x2+|a|x+a· b=0 有实根,则|a|2-4a· b≥0,设 1 2 |a| a· b 4 1 向量 a 与 b 的夹角为 θ,则 cosθ= ≤ = , |a||b| 1 2 2 |a| 2 π ? ∴θ∈? ?3,π?. 13.设两向量 e1,e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2 的夹角为 60° ,若向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围. 2 解:由已知得 e2 e2=2×1×cos60° =1. 1=4,e2=1,e1· 2 2 2 ∴(2te1+7e2)· (e1+te2)=2te1+(2t +7)e1· e2+7te2=2t2+15t+7. 1 欲使夹角为钝角,需 2t2+15t+7<0,得-7<t<- . 2 设 2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ<0), ? ?2t=λ, 14 ∴? ∴2t2=7.∴t=- ,此时 λ=- 14. 2 ?7=tλ, ? 14 时,向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为 π. 2 ∴当两向量夹角为钝角时,t 的取值范围是 ?-7,- 14?∪?- 14,-1?. 2 ? ? 2 2? ? 即 t=-

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