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2018年高考数学总复*第八章立体几何与空间向量专题探究课四高考中立体几何问题的热点题型课时作业

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2019 最新整理、试题、试卷精品资料 2018 年高考数学总复*第八章立体几何与空间向量专题探究 课四高考中立体几何问题的热点题型课时作业 (建议用时:80 分钟) 1.(2017·金华质检)在*面四边形 ABCD 中, AB=BD=CD =1,AB⊥BD,CD⊥BD,将△ABD 沿 BD 折起,使得*面 ABD⊥*面 BCD,如图. (1)求证:AB⊥CD; (2)若 M 为 AD 中点,求直线 AD 与*面 MBC 所成角的正弦值. (1)证明 ∵*面 ABD⊥*面 BCD,*面 ABD∩*面 BCD=BD,AB? *面 ABD,AB⊥BD, ∴AB⊥*面 BCD. 又 CD? *面 BCD,∴AB⊥CD. (2)解 过点 B 在*面 BCD 内作 BE⊥BD,如图. 由(1)知 AB⊥*面 BCD, BE? *面 BCD,BD? *面 BCD, ∴AB⊥BE,AB⊥BD. 以 B 为坐标原点,分别以, ,的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空 间直角坐标系. 依题意,得 B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1), M,则=(1,1,0),=,=(0,1,-1). 设*面 MBC 的法向量为 n=(x0,y0,z0), x0+y0=0, ? ? 则即?1 1 y0+ z0=0, ? 2 ?2 What's that ?It's a picture of a room.What ca n you se e in the pi cture ?I can see a black hat on the table.Can you see (看见 ) an Englis h book on the table -1-/7 2019 最新整理、试题、试卷精品资料 取 z0=1,得*面 MBC 的一个法向量为 n=(1,-1,1). 设直线 AD 与*面 MBC 所成角为 θ , 则 sin θ =| cos〈n, 〉|==, 即直线 AD 与*面 MBC 所成角的正弦值为. 2.(2017·浙江三市十二校联考)如图,三棱锥 P-ABC 中,PC⊥*面 ABC,PC=3,∠ACB=.D,E 分别为线段 AB,BC 上的点,且 CD=DE=,CE=2EB=2. (1)证明:DE⊥*面 PCD; (2)求二面角 A-PD-C 的余弦值. (1)证明 由 PC⊥*面 ABC,DE? *面 ABC,故 PC⊥DE. 由 CE=2,CD=DE=得△CDE 为等腰直角三角形,故 CD⊥DE. 由 PC∩CD=C,DE 垂直于*面 PCD 内两条相交直线,故 DE⊥*面 PCD. (2)解 由(1)知,△CDE 为等腰直角三角形, ∠DCE=,如图,过 D 作 DF 垂直 CE 于 F,易知 DF=FC=FE=1,又已知 EB=1,故 FB=2. 由∠ACB=,得 DF∥AC,∴==, 故 AC=DF=. 以 C 为坐标原点,分别以, ,的方向为 x 轴,y 轴,z 轴 的正方向建立空间直角坐标系, 则 C(0,0,0),P(0,0,3),A,E(0,2,0),D(1,1,0),=(1,- 1,0),=(-1,-1,3),=. 设*面 PAD 的法向量为 n1=(x1,y1,z1), -x1-y1+3z1=0, ? ? 由 n1·=0,n1·=0,得?1 x1-y1=0, ? ?2 故可取 n1=(2,1,1). What's that ?It's a picture of a room.What ca n you se e in the pi cture ?I can see a black hat on the table.Can you see (看见 ) an Englis h book on the table -2-/7 2019 最新整理、试题、试卷精品资料 由(1)可知 DE⊥*面 PCD,故*面 PCD 的法向量 n2 可取为,即 n2=(1, -1,0). 从而法向量 n1,n2 的夹角的余弦值为 cos〈n1,n2〉==, 故所求二面角 A-PD-C 的余弦值为. 3.(2017·丽水月考)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AB=AC=AA1=4, BC=2.BD⊥AC, 垂足为 D,E 为棱 BB1 上一点,BD∥*面 AC1E. (1)求线段 B1E 的长; (2)求二面角 C1-AC-E 的余弦值. 解 (1)由 AB=AC=4,知△ABC 为等腰三角形, 又 BD⊥AC,BC=2, 故·AC·BD=·BC· , 解得 BD=. 从而在 Rt△CDB 中,CD==1,故 AD=AC-CD=3. 如图,过点 D 作 DF∥CC1,交 AC1 于 F,连接 EF.因为 DF∥CC1,从而= =,得 DF=3. 因为 DF∥CC1,CC1∥BB1,故 DF∥BB1,即 DF∥BE,故 DF 与 BE 确定* 面 BDFE. 又 BD∥*面 AC1E,而*面 BDFE∩*面 AC1E=EF,故 BD∥EF. 故四边形 BDFE 为*行四边形,从而 DF=BE=3,所以 B1E=BB1-BE= 1. (2)如图,以 D 为坐标原点,分别以, ,的方向为 x 轴、 y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则 D(0,0, 0),C(-1,0,0),E(0, ,3),=(-1,0,0),=(0, , What's that ?It's a picture of a room.What ca n you se e in the pi cture ?I can see a black hat on the table.Can you see (看见 ) an Englis h book on the table -3-/7 2019 最新整理、试题、试卷精品资料 3). 设*面 ACE 的一个法向量为 n1=(x,y,z),由 n



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